Na początek teoria: funkcje wykładnicze
W tym module omówimy funkcję, która może albo gwałtownie rosnąć w nieskończoność albo też nieskończenie powoli spadać do zera. Funkcja ta jest wszędzie w fizyce niewiarygodnie użyteczna – opisuje przebiegi wielu procesów fizycznych.
Zrozumieć ten moduł łatwiej będzie osobom, które znają podstawy rachunku różniczkowego i na przykład wiedzą, czym jest styczna do krzywej lub wyprowadzali już kiedyś jakiś wzór. Jeśli jednak nie znasz tych pojęć, nie ma problemu. Wyjaśnimy wszystko, co najważniejsze.
Na końcu każdy będzie wiedział, jak wygląda wspomniana wyżej funkcja i jak wyprowadza się prawo rozpadu dla radioaktywnych izotopów za pomocą filiżanki cappuccino. Poza tym możemy doprowadzić do rozpadu kilka atomów. Powodzenia!
Zaczniemy trochę bardziej teoretycznie, ale nie potrwa to długo. Jeśli ktoś zrozumie następujące zadanie o rozmnażaniu bakterii, pozna prawdziwie ważne matematyczne narzędzie, za pomocą którego można w fizyce wyprowadzić wiele praw, od osłabienia światła po prawo rozpadu promieniotwórczego.
Zadanie…
Przyjmijmy, że na szalce Petriego znajduje się samotna, ale bardzo żywotna bakteria. W ciągu minuty bakteria dzieli się raz. Po minucie mamy już dwie bakterie, po następnej minucie cztery i tak dalej. Pytanie brzmi: Ile bakterii znajdziemy na szalce Petriego po jednej godzinie? Zadanie to można rozwiązać za pomocą równania różniczkowego. Dla kogo wyprowadzenie jest zbyt trudne (lub kto chciałby poznać od razu rozwiązanie), może bezpośrednio przeskoczyć do podsumowania.
Namnażanie się bakterii jako równanie różniczkowe
Jak można by zapisać za pomocą wzorów liczbę bakterii A(t)? Najpierw mamy:
| Czas [minuty] | Liczba bakterii [A(t)] |
|---|---|
| 0 | A(t0 = 0) = 1 |
| 1 | A(t1 = 1) = 2 |
| 2 | A(t2 = 2) = 4 |
| 3 | A(t3 = 3) = 8 |
| 4 | A(t4 = 4) = 16 |
Gdy chcemy się dowiedzieć, ile bakterii żyje w czasie tn, możemy określić to po kolei według A(t0), A(t1), …, A(tn-1), zawsze zgodnie z regułą A(ti) = 2 A(ti-1). Jednak przy szczególnie dużych n, jest to już dużo pracy.
Lepiej jest więc znaleźć prosty wzór dla A(t) – i tu musimy się zastanowić. Ile bakterii dochodzi na jednostkę czasu tn-tn-1 do powstałych wcześniej bakterii?
Może zapisać to we wzorze?
Ci, którzy na kartkach mają coś podobnego do „W każdej jednostce czasu tn liczba bakterii wzrasta o tyle, ile wynosiła ich liczba w czasie tn-1”, lub taki wzór:
…świetnie rozwiązali zadanie i w dodatku prawie skończyli. Ponieważ, jeśli dokładnie spojrzymy, zobaczymy, że po lewej stronie znaku „=” stoi wyrażenie, które opisuje prostą. Ma ona nachylenie:
Co można zrobić z tą całą wiedzą? Z pomocą nachylenia można teraz na nowo sformułować problem bakterii. Szukana jest taka funkcja A(t) dla liczby bakterii, której nachylenie w każdym punkcie ma dokładnie tę samą wartość jak sama funkcja A(t). Jeśli funkcja ma niskie wartości – jest bardziej płaska, im wyższe wartości osiąga, tym bardziej wzrasta jej nachylenie.
Problemy, przy których szuka się funkcji, dla której znane jest (tylko) nachylenie (dokładniej pochodna), nazywamy „równaniami różniczkowymi”. I większość z tych problemów nie ma dokładnego rozwiązania…
Na szczęście problem wzrostu liczby bakterii jest tutaj wyjątkiem. Jego rozwiązanie, funkcja A(t), jest już znana od kilku wieków. Jest to funkcja wykładnicza:
Przypominamy: liczba e=2,712828… to „podstawa logarytmów naturalnych”. „Logarytm naturalny” liczby X „lnX”, zdefiniowany jest tak: elnX=X, e0=1, eln2 = 2, a zapis XYZ oznacza [XY]Z, czyli mnożenie wykładników potęg oznacza kolejne potęgowanie.
Jak łatwo można rozpoznać, funkcja ta świetnie pasuje do problemu bakterii. Dlaczego? Jeżeli na początku była tylko jedna bakteria, oraz założymy, że nie ma bakterii, które nie mogą się dzielić, to mnożnik M oraz stała C są równe zeru – ponieważ wszystkie bakterie są zdolne do podziału i rzeczywiście się dzielą.
Zatem nasze równanie brzmi A(t) = eαt.
I wtedy powinniśmy sobie przypomnieć o tym, że eln2 = 2 i mamy już równanie A(t) = 2t, które świetnie opisuje nasz problem bakterii.
Funkcja wykładnicza w fizyce
Dlaczego funkcja wykładnicza jest tak ważna? To całkiem proste – ponieważ występuje w fizyce prawie wszędzie. Jest rodzajem „matematycznych kombinerek”, a co za tym idzie częścią podstawowego wyposażenia.
Za pomocą tej funkcji można na przykład wyliczyć w gazie stosunek molekuł w stanie wzbudzonym do molekuł w stanie podstawowym. Albo można wyliczyć, jak szybko rozładuje się kondensator. Można nią opisać oscylacje, np. fal elektromagnetycznych, które wysyła telefon komórkowy, albo obliczyć, jak materia pochłania promieniowanie, a co za tym idzie, np. móc określić natężenie oświetlenia, jakie panuje na określonej głębokości w morzu lub intensywność promieniowania γ za osłoną o znanej grubości.
I w końcu można opisać – za pomocą funkcji wykładniczej – zjawisko rozpadu promieniotwórczego jąder atomowych. Jak się to robi, pokażemy w następnych rozdziałach.
Zapamiętaj!
Prawo rozpadu promieniotwórczego opisujemy za pomocą funkcji wykładniczej.