Prawo rozpadu pianki w kawie

Funkcję wykładniczą z poprzedniego rozdziału można zastosować w fizyce jądrowej w różny sposób – na przykład przy rozpadzie promieniotwórczym. Ale zanim zaczniemy, wypijmy filiżankę kawy z dużą ilością pianki mlecznej.

Ponieważ pianka składa się z niewiarygodnie wielu małych bąbelków, które pękają z czasem, aż z pianki niemal nic nie zostaje. Liczbę bąbelków, a co za tym idzie ilość pianki, można opisać za pomocą funkcji wykładniczej. Wyprowadzenie i prawo rozpadu funkcjonuje dokładnie tak, jak przy rozpadzie promieniotwórczym jąder atomów, którym zajmiemy się w następnej części.

Pianka mleczna

Przy dokładnej obserwacji pianki rozpoznajemy, że na jednostkę czasu rozpada się zawsze stały procent bąbelków pianki. Przy przeciętnej piance może to być np. 30% na minutę.

To znaczy, że na jednostkę czasu pianka zmniejsza się o ułamek 0,3 chwilowej ilości pianki, albo:

\frac{dM(t)}{dt} = 0,3{\cdot}M(t)

Czy równanie to nie wydaje się nam być w jakiś sposób znajome? Dokładnie, wygląda tak samo jak równanie namnażania liczby bakterii. W tym przypadku M(t) oznacza ilość bąbelków pianki w po czasie t. I można je tak samo rozwiązać…

Równanie, które opisuje ilość pianki w zależności od czasu M(t), wygląda po prostu:

M(t) = M_0{\cdot}e^{-0,3t}

Minus przed 0,3 odnosi się do tego, że bąbelki rozpadają się, a że wartość 0,3 jest związana z prędkością, z którą rozpada się pianka, jest jasne. A co oznacza M0? Spójrzmy na poniższe wykresy.

Rys. Wykresy funkcji M(t) dla przykładowych wartości parametru M0, źródło: opracowanie własne

M0 przesuwa krzywą rozpadu wzdłuż osi y. Jeśli M0 = 1, krzywa przecina oś y przy wartości 1. W naszym przypadku oś x to oś czasu. Czas nie może mieć wartości ujemnych, zatem zauważmy, co dzieje się w momencie t = 0, czyli gdy rozpoczyna się rozpad pianki. Jeśli M0 jest większe niż 1, rozpad zaczyna się z większą ilością pianki, a przy M0 < 1 z mniejszą ilością pianki mlecznej. Mnożnik M0 określa początkową ilość pianki mlecznej.

A co ze współczynnikiem \alpha?

Do tej pory przyjmowaliśmy, że wartość \alpha jest równa 0,3 na minutę. Ale są też pianki, które rozpadają się szybciej lub wolniej. Odpowiednio \alpha może przyjmować większe lub mniejsze wartości i jest miarą szybkości opisywanego procesu. Można więc z pomocą M0 lub \alpha dopasować wzór do rzeczywistości.

Może przykład: Przyjąwszy, że ilość pianki wynosi na początku 250 cm3; po 6 minutach będzie to już tylko 50 cm3. Jak duże należy wybrać wtedy M0 i α? Do wyliczenia potrzebujemy odwrotnej funkcji do funkcji wykładniczej – logarytmu ln.

Tags:
Na tej stronie:
Back To Top